Xét phương trình hoành độ giao điểm của (left( P right)) và trục hoành ta có: ({x^2} – 4x + 3m = 0) (*)
Để (left( P right)) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt dương.
Khi đó ta cần các điều kiện: (left{ begin{array}{l}Delta > 0{x_1} + {x_2} > 0{x_1}.{x_2} > 0end{array} right.)
Ta có: (Delta = {left( { – 4} right)^2} – 4.3m = 16 – 12m)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = dfrac{{ – b}}{a} = 4{x_1}.{x_2} = dfrac{c}{a} = 3mend{array} right.)
Giải hệ phương trình: (left{ begin{array}{l}16 – 12m > 04 > 03m > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}16 > 12mm > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m < dfrac{{16}}{{12}}m > 0end{array} right. Leftrightarrow 0 < m < dfrac{4}{3}).
Gọi ({x_1},{x_2}) là hai nghiệm của (*), giả sử (0 < {x_1} < {x_2}).
Ta có:
({S_1} = intlimits_0^{{x_1}} {left( {{x^2} – 4x + 3m} right)dx} = left. {dfrac{{{x^3}}}{3} – dfrac{{4{x^2}}}{2} + 3mx} right|_0^{{x_1}} = dfrac{{x_1^3}}{3} – 2x_1^2 + 3m{x_1});
(begin{array}{l}{S_2} = intlimits_{{x_1}}^{{x_2}} { – left( {{x^2} – 4x + 3m} right)dx} = intlimits_{{x_2}}^{{x_1}} {left( {{x^2} – 4x + 3m} right)dx} ,,,,,, = left. {dfrac{{{x^3}}}{3} – dfrac{{4{x^2}}}{2} + 3mx} right|_{{x_2}}^{{x_1}} = dfrac{{x_1^3}}{3} – 2x_1^2 + 3m{x_1} – left( {dfrac{{x_2^3}}{3} – 2x_2^2 + 3m{x_2}} right)end{array})
Để ({S_1} = {S_2}) thì (dfrac{1}{3}.x_2^3 – 2x_2^2 + 3m{x_2} = 0)( Leftrightarrow {x_2}left( {dfrac{1}{3}x_2^2 – 2{x_2} + 3m} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_2} = 0,,,left( {ktm} right)dfrac{1}{3}x_2^2 – 2{x_2} + 3m = 0 & left( 1 right)end{array} right.)
Mặt khác ({x_2}) là nghiệm của (*) nên (x_2^2 – 4{x_2} + 3m = 0)() (2)
Lấy (1) trừ đi (2) ta được: ( – dfrac{2}{3}x_2^2 + 2{x_2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_2} = 0,,,,,left( {ktm} right){x_2} = 3end{array} right.)
Với ({x_2} = 3) thay vào (left( 2 right)) ta tính được ({3^2} – 4.3 + 3m = 0 Leftrightarrow 9 – 12 + 3m = 0 Leftrightarrow 3m = 3 Leftrightarrow m = 1) (TMĐK)
Vậy (m = 1).
