Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác ABC và AD, BE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn.
Ta có:
(begin{array}{l}angle HDC = {90^0},,left( {do,,AD bot BC} right)angle HEC = {90^0},,left( {do,,BE bot AC} right) Rightarrow angle HDC + angle HEC = {90^0} + {90^0} = {180^0}end{array})
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau của tứ giác CDHE.
=> CDHE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ({180^0})). (đpcm)
b) Chứng minh HA.HD = HB.HE.
Xét (Delta AHE) và (Delta BHD) có:
(angle AEH = angle BDH = {90^0},,left( {do,,BE bot AC,,,AD bot BC} right))
(angle AHE = angle BHD) (đối đỉnh)
( Rightarrow Delta AHE sim Delta BHD,,left( {g.g} right))
( Rightarrow dfrac{{HA}}{{HB}} = dfrac{{HE}}{{HD}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) ( Rightarrow HA.HD = HB.HE,,left( {dpcm} right)).
c) Gọi điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE. Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Xét tứ giác nội tiếp CDHE có: (angle HEC = {90^0},,left( {gt} right)) nên (angle HEC) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
( Rightarrow HC) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE.
( Rightarrow I) là trung điểm của HC.
Gọi O là trung điểm của AB => O là tâm đường tròn đường kính AB.
Ta cần chứng minh (OE bot IE) tại E.
Vì tam giác AEB vuông tại E có EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên (OE = dfrac{1}{2}AB = OA = OB Rightarrow E in left( O right)).
Vì tam giác ADB vuông tại D có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên (OD = dfrac{1}{2}AB = OA = OB Rightarrow D in left( O right))
Vì CDHE là tứ giác nội tiếp (cmt) nên (angle ECH = angle EDH Rightarrow angle ECI = angle EDA) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE).
Mà (angle EDA = angle EBA = angle EBO) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA của (O)).
( Rightarrow angle ECI = angle EBO). (1)
Vì tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I đường kính HC nên IE = IC
( Rightarrow Delta IEC) cân tại I (định nghĩa)
( Rightarrow angle ECI = angle CEI) (tính chất tam giác cân). (2)
Vì E thuộc (O) nên OB = OE
( Rightarrow Delta OBE) cân tại O (định nghĩa)
( Rightarrow angle EBO = angle BEO) (tính chất tam giác cân). (3)
Từ (1), (2), (3)
(begin{array}{l} Rightarrow angle CEI = angle BEO Rightarrow angle CEI + angle IEH = angle BEO + angle IEH Rightarrow angle CEH = angle IEO Rightarrow {90^0} = angle IEOend{array})
Vậy (OE bot IE) tại E hay IE là tiếp tuyến của đường tròn (O) đường kính AB (đpcm).
