Hypebol:
1. Định nghĩa
Cho hai điểm cố định ({F_1}), ({F_2}) với khoảng cách giữa chúng là ${F_1}{F_2} = 2cleft( {c > 0} right)$.
Cho một hằng số a thỏa mãn điều kiện a < c.
Hypebol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho hiệu trị tuyệt đối các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định ${F_1}$, ${F_2}$ bằng một hằng số 2a. Kí hiệu là (H).
${F_1}$, ${F_2}$ được gọi là tiêu điểm của (H).
Khoảng cách ${F_1}{F_2} = 2c$ được gọi là tiêu cự của (H).
2. Phương trình chính tắc của hypebol
Khi chọn hệ trục tọa độ sao cho hai tiêu điểm là ${F_1}left( { – c;0} right)$ và ${F_2}left( {c;0} right)$, thì một điểm M(x;y) thuộc (H) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: @dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Trong đó ${b^2} = {c^2} – {a^2}$.
(Lưu ý từ định nghĩa (a < c), nên ${c^2} – {a^2} > 0$).
Phương trình $dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.
3. Hình dạng và tính chất của hypebol (H)
(Với phương trình chính tắc $frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$)
+ Tiêu điểm: ${F_1}left( { – c;0} right)$, ${F_2}left( {c;0} right)$.
+ Các đỉnh: ${A_1}left( { – a;0} right)$ và ${A_2}left( {a;0} right)$.
+ Trục: Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của hypebol.
+ Độ dài trục: Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh ${A_1}, {A_2}$ gọi là độ dài trục thực. Độ dài 2b gọi là độ dài trục ảo.
+ Nhánh hypebol: Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol.
+ Hình chữ nhật cơ sở: Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x = pm a$, $y = pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở.
+ Đường tiệm cận: Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là $y = pm dfrac{b}{a}x$.
+ Tâm sai: $e = dfrac{c}{a} > 1$.
+ Khoảng cách từ điểm trên hypebol đến tiêu điểm: Đối với điểm $Mleft( {{x_M};{y_M}} right)$ thuộc (H), khoảng cách từ M đến các tiêu điểm là: $M{F_1} = left| {a + e{x_M}} right| = left| {a + dfrac{c}{a}{x_M}} right|$ và $M{F_2} = left| {a – e{x_M}} right| = left| {a – dfrac{c}{a}{x_M}} right|$.
